2장-(2)성질이 나쁜경우

성질이 나쁜 예

성질이 나쁘다는 것에는 여러 종류가 있을 수 있다.

 

단서가 부족한 경우

원인 벡터 x는 n차원으로 구성되어 있고, 결과벡터 y는 m차원으로 구성되어 있다고 할 때, m < n 이라면 알고 싶은 양은 n 개인데, 단서가 겨우 m개뿐인 상황이다. 예를 들어 m = 2, n = 3이라고 하면 y = Ax 에서 A의 의미는 x가 있는 3차원 공간을 y가 있는 2차원 공간으로 옮기는 사상이다. 원래의 차원보다 낮은 공간으로 옮기는 것이므로 납작하게 누르는 사상인 것인데, 여러 개의 x가 A를 통해 y에 옮겨왔을 때, 원래의 x는 어디 있었을까 라는 질문에 x의 값을 특정할 수 없다는 문제가 생긴다. 

핵(kernel)

주어진 행렬 A에 의해 Ax = 0으로 이동해 오는 것과 같은 x의 집합을 A의 핵이라고 하고 Ker A라고 표현한다.. "사상 A에서 납작하게 눌러지는 방향"을 나타내는 것이다. 

 

 

단서가 너무 많은 경우

단서가 적은 경우와 반대로 y가 차원이 큰 경우이다. (m > n) 위와 반대로 m = 3, n = 2 라고 예를 들어보면, 이것은 행렬 A를 통해(사상 A를 통해) 원래보다 차원이 높은 공간으로 옮기는 것이므로 3차원 공간 모두를 커버하는 것은 불가능하다. "단서들 모두에 부합하는 x는 존재하지 않는다"가 될 수 있는 것이다. 

상(image)

주어진 A에 대해 x를 다양하게 움직인 경우에 A로 옮기는 y = Ax의 집합을 A의 상(image)라고 하고 Im A라고 표현한다. 즉, 원래의 공간 전체를 A로 옮긴 영역을 의미하는 것이다.

 

 

특이행렬

단서의 개수가 일치해도 문제가 될 수 있다. x와 y의 크기가 모두 n차원으로 동일하다고 해도, 사상에서 공간이 납작하게 눌려버리는 경우이다. 이는 단서가 부족한 경우와 마찬가지로 x의 후보가 유일하게 결정되지 않는다는 문제가 있다는 것과 같다. 즉, "A를 통해 y로 이동해 왔을 때, 원래의 x는?"이라는 질문에 "그런 x가 없다" 이거나 "유일하지 않다"라고 대답하게 되는 것이다. 

 

결과적으로 보면, 행렬의 크기만으로 성질의 좋고 나쁨을 단정 지을 수는 없으며, 본질적으로 핵(kernel)과 상(image)이 어떻게 되어있는지가 중요하다.