4장-(1)대각화, 고윳값, 고유벡터

대각화

아래와 같은 행렬 C가 있을 때, 일반화하면 다음과 같다.

예시

• 정칙행렬 C를 사용하여 x(t)를 다른 변수인 y(t) = Cx(t)로 변환한다.
• x(t) 식으로 주어진 차분방정식으로 y(t) 식으로 다시 작성하고,
• 고쳐 쓴 식이 "대각행렬"의 경우가 되어 간단히 풀리게 된다.
• 풀어서 얻은 y(t)를 x(t)로 되돌리면 답이 된다. 

C가 정칙행렬이 아니라면 x와 y가 일대일대응이 되어주지 않기 때문에 x와 y를 자유자재로 오고 갈 수 없게 된다. 즉, y(t)를 구하고 x(t)로 되돌리는 것인데, "대응하는 x(t)가 없다"거나, "대응하는 x(t)가 아주 많"아질 수 있게 되므로 일대일대응이 보장되도록 C를 정칙행렬로 해야 한다. 정리해 보자면 아래와 같다.

 

 

고윳값, 고유벡터

고윳값, 고유벡터

 

고유벡터의 기하학적 의미

행렬 A의 고유벡터에 대한 기하학적 의미는 A를 곱해도 신축만 되고, 방향은 변하지 않는다는 것이다. 신축률, 즉 몇 배가 되는가에 대한 것이 고윳값이다. 

 

고윳값, 고유벡터의 성질

위의 이미지에서처럼 행렬 A에 대해 고윳값 

• A가 고윳값 0을 지니는 것과 A가 특이인 것은 동치이다. 마찬가지로, A가 고윳값 0을 지니지 않는 것과 A가 정칙인 것 또한 동치이다.
• a ≠ 0에 대해 ap 는 A의 고유벡터이다.
• 같은 고윳값의 다른 고유벡터 q가 있을 때, p + q 도 A의 고유벡터이다. (단, p + q ≠ 0)
• 행렬 A의 제곱이나 세제곱을 하더라도 p가 이들의 고유벡터이다. 이때 고윳값은 행렬의 지수승과 동일하게 제곱된다.
• p는 A의 역행렬의 고유벡터이기도 하다. (역행렬이 존재할 때)
• 블록대각행렬의 고윳값, 고유벡터는 대각블록별로 생각하면 된다.
• 다른 고윳값에 대응하는 고유벡터는 선형독립이다.(고윳값이 다르면 고유벡터는 다른 방향)

 

고윳값의 계산 - 특성방정식

행렬 A의 고윳값이 구해지면, 아래의 식을 만족시키는 벡터 p를 찾는 것이다.